# Aufgabe 10.9
## (a)
# Erwartungstreuer Schätzer für Erfolgswahrscheinlichkeit p der Binomialverteilung:
# arithmetisches Mittel, d.h. Anzahl Erfolge / Anzahl Versuche
# Hier Erfolg = kurzfristige Absage
p_hat <- 57/380
## (b)
prop.test(x = 57, n = 380, p = 0.1, alternative = "two.sided",
conf.level = 0.95)
1-sample proportions test with continuity correction
data: 57 out of 380, null probability 0.1
X-squared = 10.007, df = 1, p-value = 0.001559
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.1
95 percent confidence interval:
0.1164351 0.1908247
sample estimates:
p
0.15 ## Alternative
n <- 380
alpha <- 0.05
z_alpha2 <- qnorm(1-alpha/2)
sigma_hat <- sqrt(p_hat*(1-p_hat))
ki <- c(p_hat - z_alpha2*sigma_hat/sqrt(n),
p_hat + z_alpha2*sigma_hat/sqrt(n))
ki[1] 0.1140986 0.1859014## (c)
### Länge des Konfidenzintervalls
diff(ki)[1] 0.0718028### Berechnung
4*z_alpha2*sigma_hat^2/0.05^2[1] 399.8327# Der Stichprobenumfang müsste mindestens 400 betragen, damit die Länge des Konfi-
# denzintervalls kleiner ist als 0.05
## (d)
### X = "Anzahl kurzfristiger Absagen"
### X ~ Bin(n = 10, p = 0.15)
### gesucht: P(X >= 1) = 1 - P(X <= 0) = 1-F(0)
1-pbinom(0, size = 10, prob = 0.15)[1] 0.8031256### Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine kurfristige Absage beträgt
### ca. 80,3125%
# Aufgabe 11.4
## H_0: mu = 100 gg. H_1: mu != 100
## Prüfgröße
n <- 10
x_quer <- 102.4
mu_0 <- 100
sigma <- 5
t <- sqrt(n)*(x_quer-mu_0)/(sigma)
alpha <- 0.05
z <- qnorm(1-alpha/2)
# -> Die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden, da die Realisation der
# Prüfgröße t nicht größer ist als das (1-alpha/2)-Quantil der
# Standardnormalverteilung (bzw. nicht kleiner ist als -(1-alpha/2)-Quantil).
# D.h. wir gehen davon aus, dass der erwartete Wasserverbrauch der Maschinen
# 100 Litern entspricht
# p-Wert = P(|T| > t) = P(-t < T < t) = P(T < t) - P(T < -t)
pnorm(t) - pnorm(-t)[1] 0.8709587# -> Wir können die Nullhypothese nicht ablehnen, da p-Wert < alpha
